Question

已知函數f（x）=alnx+bx，且f（1）=-1，f′（1）=0，
（1）求f（x）；
（2）求f（x）的最大值；
（3）若x＞0，y＞0，證明：lnx+lny≤

xy+x+y-3

2

．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=-1，f′（1）=0列方程組解出即可；
（2）求導數f′（x），在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，以表格形式列出，求出極值點，從而得到最值點，代入即可求得最大值；
（3）由（2）得lnx≤x-1恒成立，lnx+lny=

lnxy

2

+

lnx+lny

2

≤

xy-1

2

+

x-1+y-1

2

，整理即證；

解答：（1）解：由b=f（1）=-1，f′（1）=a+b=0，∴a=1，
∴f（x）=lnx-x為所求；
（2）解：∵x＞0，f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，當x變化時，f′（x），f（x）變化情況如下表：

x	0＜x＜1	x=1	x＞1
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

∴f（x）在x=1處取得極大值-1，即所求最大值為-1；
（3）證明：由（2）得lnx≤x-1恒成立，
∴lnx+lny=

lnxy

2

+

lnx+lny

2

≤

xy-1

2

+

x-1+y-1

2

=

xy+x+y-3

2

成立．

點評：本題考查利用導數求函數的最值及證明不等式問題，利用導數證明不等式往往根據前面結論：如最值等．