Question

如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面ABB₁A₁⊥底面ABC，側棱AA₁與底面ABC成60°的角，AA₁=2．底面ABC是邊長為2的正三角形，M、N分別是AC和B₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：MN∥側面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求MN與平面ABC所成的角的大小（用反三角函數表示）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證MN∥側面ABB₁A₁，只需取A₁B₁的中點P，連接NP、AP，證明MN∥AP．MN?面ABB₁A₁，AP?面ABB₁A₁，即可．
（Ⅱ）通過MN與平面ABC所成的角和AP與平面ABC所成的角相等．連接PB，說明，∠PAB為直線PA與面ABC所成的角，通過tan∠PAB=

PB

AA1

，求MN與平面ABC所成的角的大小（用反三角函數表示）．

解答：解（Ⅰ）證明：取A₁B₁的中點P，連接NP、AP，
則NP∥AM，NP=

1

2

A1C1=

1

2

AC=AM，
∴四邊形AMNP為平行四邊形，∴MN∥AP．
∵MN?面ABB₁A₁，AP?面ABB₁A₁，
∴MN∥側面ABB₁A₁．
（Ⅱ）∵MN∥AP，∴MN與平面ABC所成的角和AP與平面ABC所成的角相等．連接PB，
∵四邊形ABB₁A₁為菱形，且∠A₁B₁B=60°，∴PB⊥AB．
∵側面ABB₁A₁⊥底面ABC，側面ABB₁A₁∩底面ABC=AB，
∴PB⊥底面ABC，∴∠PAB為直線PA與面ABC所成的角．
∵PB=

3

2

AA1=

3

，∴tan∠PAB=

3

2

，∴∠PAB=arctan

3

2

，
即MN與面ABC所成的角為arctan

3

2

．

點評：本題考查直線與平面的平行，直線與平面所成角的求法，注意直線與平面平行的定理以及準確作出直線與平面所成的角，考查計算能力．