Question

已知拋物線S的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，△ABC的三個頂點都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點，若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0．
（I）求拋物線S的方程；
（II）若O是坐標原點，P、Q是拋物線S上的兩動點，且滿足PO⊥OQ．試說明動直線PQ是否過一個定點．

Answer 1

解：（I）設拋物線S的方程為y²=2px．（1分）
由可得2y²+py-20p=0．（3分）
由△＞0，有p＞0，或p＜-160．
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則，
∴（5分）
設A（x₃，y₃），由△ABC的重心為，則，
∴（6分）
∵點A在拋物線S上，
∴，
∴p=8．（7分）
∴拋物線S的方程為y²=16x．（8分）
（II）當動直線PQ的斜率存在時，
設動直線PQ方程為y=kx+b，顯然k≠0，b≠0．（9分）
∵PO⊥OQ，
∴k_OP•k_OQ=-1．
設P（x_P，y_P）Q（x_Q，y_Q）
∴，
∴x_Px_Q+y_Py_Q=0．（10分）
將y=kx+b代入拋物線方程，得ky²-16y+16b=0，
∴
從而，
∴
∵k≠0，b≠0，
∴b=-16k，
∴動直線方程為y=kx-16k=k（x-16），
此時動直線PQ過定點（16，0）．（12分）
當PQ的斜率不存在時，顯然PQ⊥x軸，又PO⊥OQ，
∴△POQ為等腰直角三角形．
由得到P（16，16），Q（16，-16），
此時直線PQ亦過點（16，0）．（13分）
綜上所述，動直線PQ過定點：M（16，0）．（14分）
分析：（I）設拋物線S的方程為y²=2px，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合直線l與拋物線相交于兩個不同的點得到根的判別式大于0，結合根與系數的關系利用重心公式即可求得p值，從而解決問題．
（II）先對動直線的斜率進行分類討論．當動直線PQ的斜率存在時，設動直線PQ方程為y=kx+b，將y=kx+b代入拋物線方程，得ky²-16y+16b=0，利用垂直關系求得b與k的關系，此時直線PQ過一個定點．當PQ的斜率不存在時，此時直線PQ亦過此點，從而問題解決．
點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、恒過定點的直線、拋物線的標準方程等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．