Question

已知矩陣M=

1 a 2 1

，其中a∈R，若點P（1，7）在矩陣M的變換下得到點P'（15，9）．
（1）求實數a的值；
（2）求矩陣M的特征值及其對應的特征向量α．

Answer 1

分析：首先根據矩陣的變換列出方程式 求出實數a的值．求出m的矩陣后寫出其特征多項式，令f（λ）=0，得矩陣M的特征值，再根據特征值解出特征向量．

解答：解：（1）由

1 a 2 1

1 7

=

15 9

，∴1+7a=15?a=2．（4分）
（2）由（1）知M=

1 2 2 1

，則矩陣M的特征多項式為f(λ)=

.

λ-1 -2 -2 λ-1

.

=（λ-1）（λ-1）-4=λ²-2λ-3，
令f（λ）=0，得矩陣M的特征值為-1與3．（6分）
當λ=-1時，

-2x-2y=0 -2x-2y=0

?x+y=0，
∴矩陣M的屬于特征值-1的一個特征向量為

1 -1

；（8分）
當λ=3時，

2x-2y=0 -2x+2y=0

?x=y，
∴矩陣M的屬于特征值3的一個特征向量為

1 1

．（10分）

點評：本題主要考查矩陣與向量的乘法，和矩陣特征值及特征向量的求法．要求綜合能力，計算能力，以及矩陣的很好理解．