Question

定義為有限項數列的波動強度.

（Ⅰ）當時，求；

（Ⅱ）若數列滿足，求證：；

（Ⅲ）設各項均不相等，且交換數列中任何相鄰兩項的位置，都會使數列的波動強度增加，求證：數列一定是遞增數列或遞減數列.

Answer 1

（Ⅰ）解：    ………………1分

.          ………………3分

（Ⅱ）證明：因為，

，

所以.  ……4分

因為，所以，或.

若，則

當時，上式，

當時，上式，

當時，上式，

即當時，.   ………………6分

若，

則，

.（同前）

所以，當時，成立.     ……………7分

（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）易知對于四個數的數列，若第三項的值介于前兩項的值之間，則交換第二項與第三項的位置將使數列波動強度減小或不變.（將此作為引理）

下面來證明當時，為遞減數列.

（ⅰ）證明.

若，則由引理知交換的位置將使波動強度減小或不變，與已知矛盾.

若，則，與已知矛盾.

所以，.                                      ………………9分

（ⅱ）設，證明.

若，則由引理知交換的位置將使波動強度減小或不變，與已知矛盾.

若，則，與已知矛盾.

所以，.                                             …………11分

（ⅲ）設，證明.

若，考查數列，

則由前面推理可得，與矛盾.

所以，.                                         ……………12分

綜上，得證.

同理可證：當時，有為遞增數列.            ………………13分