Question

（2012•東城區(qū)模擬）已知函數f(x)=cos2ωx-

3

sinωx•cosωx（ω＞0）的最小正周期是π，
（1）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間和對稱中心；
（2）若A為銳角△ABC的內角，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的正余弦公式把函數降冪，然后化積為y=Acos（ωx+Φ）+k的形式，由復合函數的單調性求原函數的單調增區(qū)間，由余弦值等于0求解函數的對稱中心；
（2）由A為銳角△ABC的內角得到A的范圍，從而得到2A+

π

3

的范圍，進一步得到f（A）的范圍．

解答：解：（1）由f(x)=cos2ωx-

3

sinωx•cosωx，得
f(x)=

1+cos2ωx

2

-

3

2

sin2ωx=cos(2ωx+

π

3

)+

1

2

．
由T=

2π

2ω

=π，得ω=1，所以f(x)=cos(2x+

π

3

)+

1

2

．
由-π+2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ，k∈Z，解得
-

2π

3

+kπ≤x≤-

π

6

+kπ，k∈Z．
所以函數f（x）的單調增區(qū)間為[-

2π

3

+kπ，-

π

6

+kπ]，k∈Z．
令2x+

π

3

=

π

2

+kπ，解得x=

π

12

+

kπ

2

，k∈Z．
所以對稱中心為(

π

12

+

kπ

2

，

1

2

)，k∈Z．
（2）因為A為銳角三角形的一個內角，所以0＜A＜

π

2

，
則

π

3

＜2A+

π

3

＜

4π

3

，
-1≤cos(2A+

π

3

)＜

1

2

，
-

1

2

≤cos(2A+

π

3

)+

1

2

＜1．
所以f（A）的取值范圍為 [-

1

2

．

點評：本題考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了兩角和與差的余弦函數，考查了余弦函數的單調性及對稱性，是中檔題．