Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA=PB．底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，點M是AB的中點，點E在棱QD上，滿足DE=2PE．求證：
（1）平面PAB⊥平面PMC；
（2）直線PB∥平面EMC．

Answer 1

分析：（1）根據已知中，PA=PB．底面ABCD是菱形點M是AB的中點，根據等邊三角形的‘三線合一’的性質，我們易得到AB⊥平面PMC，再由面面垂直的判定定理，即可證明結論；
（2）連BD交MC于F，連EF，由CD=2BM，CD∥BM，我們可以得到△CDF∽△MBF，根據三角形相似的性質，可以得到DF=2BF．再根據DE=2PE，結合平行線分線段成比例定理，易判斷EF∥PB，結合線面平行的判定定理，即可得到結論．

解答：解：（1）∵PA=PB，M是AB的中點．
∴PM⊥AB．（2分）
∵底面ABCD是菱形，∴AB=AC．
∵∠ABC=60°．
∴△ABC是等邊三角形．
則CM⊥AB．（4分）
∵PM∩CM=M，
∴AB⊥平面PMC．（6分）
∵AB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PMC．（8分）
（2）連BD交MC于F，連EF．

由CD=2BM，CD∥BM，易得△CDF∽△MBF．
∴DF=2BF．（10分）
∵DE=2PE，∴EF∥PB．（12分）
∵EF?平面EMC，PB?平面EMC，∴PB∥平面EMC．（14分）

點評：本題考查的知識點是空間中直線與平面之間的位置關系，熟練掌握直線與平面垂直及直線與平面平行的判定定理及證明步驟是解答本題的關鍵．