Question

已知函數f（x）是（-∞，+∞）上的偶函數，若對于x≥0，都有f（x+2）=-f（x），且當x∈[0，2）時，f（x）=log₂（x+1），則f（-2011）+f（2012）=

1

．

Answer 1

分析：確定當x≥0時函數的周期，利用函數f（x）是（-∞，+∞）上的偶函數，x∈[0，2），f（x）=log₂（x+1），代入計算，可得結論．

解答：解：∵對于x≥0，都有f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f（x），∴函數的周期為T=4
∵函數f（x）是（-∞，+∞）上的偶函數，x∈[0，2），f（x）=log₂（x+1）
∴f（-2011）+f（2012）=f（1）+f（0）=log₂（1+1）+log₂1=1．
故答案為：1

點評：本題考查函數的奇偶性與周期性綜合運用，考查轉化思想，解答本題的關鍵是熟練掌握函數的性質及一些常用的反映函數性質的結論．