Question

如圖，ABCD是邊長為3正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60°．
（1）設(shè)點M是線段BD上一點，且BD=3BM，證明：AM∥平面BEF；
（2）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析：（1）取BE上的三等分點N，使3BN=BE，連接MN，NF，利用三角形內(nèi)分線段成比例定理的逆定理即可得出MN

∥

.

1

3

DE，從而得到AF

∥

.

MN，得到平行四邊形AMNF，可得AM∥FN，再利用線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）由圖可得V_多面體ABCDEF=V_B-ADEF+V_E-DBC．利用線面垂直的性質(zhì)和四棱錐、三棱錐的  體積計算公式即可得出．

解答：（1）證明：取BE上的三等分點N，使3BN=BE，連接MN，NF，
∵BD=3BM，∴

BM

BD

=

BN

BE

=

1

3

．
∴DE∥MN，且DE=3MN，
∵AF∥DE，且DE=3AF，
∴AF∥MN，且AF=MN，
故四邊形AMNF是平行四邊形．
∴AM∥FN，
∵AM?平面BEF，F(xiàn)N?平面BEF，
∴AM∥平面BEF． 
（2）解：∵DE⊥平面ABCD，∴BD為BE在平面ABCD上的射影，
∴∠EBD=60°，∴在Rt△BDE中，可得DE=BDtan60°=3

2

×

3

=3

6

．
∵DE⊥平面ABCD，
∴平面ADEF⊥平面ABCD，且交線為AD
又AB⊥AD，∴AB⊥平面ADEF，即BA為四棱錐BADEF的高．
∵ADEF是直角梯形，∴SADEF=

(AF+DE)×AD

2

=

4 6 ×3

2

=6

6

．
∴VB-ADEF=

1

3

SADEF×AB=

1

3

×6

6

×3=6

6

．
又VE-DBC=

1

3

S△DBC×ED=

1

3

×

1

2

×32×3

6

=

9 6

2

．
∴V_多面體ABCDEF=V_B-ADEF+V_E-DBC=6

6

+

9 6

2

=

21 6

2

．

點評：熟練掌握三角形內(nèi)分線段成比例定理的逆定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、線面垂直的性質(zhì)、面面垂直的判定與性質(zhì)定理、四棱錐與三棱錐的體積計算公式是解題的關(guān)鍵．