Question

已知數(shù)列{a_n} 的各項(xiàng)全為正數(shù)，觀察流程圖，當(dāng)k=2時(shí)，S=

1

4

；當(dāng)k=5 時(shí)，S=

4

13

．
（1）寫(xiě)出k=4時(shí)，S的表達(dá)式；（用a₁，a₂，a₃，a₄，∧等表示）
（2）求{a_n} 的通項(xiàng)公式；
（3）令b_n=2ⁿa_n，求b₁+b₂+…+b_n．

Answer 1

分析：（1）經(jīng)過(guò)分析，程序框圖為當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，按照框圖題意分析求出當(dāng)k=4時(shí)，S的值；{a_n}的通項(xiàng)．
（2）由圖知：數(shù)列a_n是一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)公差為d，（d≠0）求出{a_n}的通項(xiàng)鄧可．
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，得到b_{n=（3n-2）•2ⁿ}，然后代入求b₁+b₂+…+b_m的值利用錯(cuò)位相消法求和即可

解答：解：（1）當(dāng)k=4時(shí)，S=

1

a 1a 2

+

1

a 2a 3

+

1

a 3a 4

（2）由圖知：數(shù)列a_n是一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)公差為d，（d≠0）
當(dāng)k=4時(shí)，S=

1

a 1a 2

+

1

a 2a 3

+

1

a 3a 4

當(dāng)k=4時(shí)，S=

1

a 1a 2

+

1

a 2a 3

+

1

a 3a 4

∴

a 1a 2=4 1 d × a 5-a 1 a 1a 5 = 4 13

解得：

a 1=1 d=3

∴a_n=3n-2．
（3）設(shè)T_n=b₁+b₂+…+b_n．
則T_n=1•2¹+4•2²+…+（3n-2）•2ⁿ，
2T_n=1•2²+4•2³+…+（3n-2）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得：-T_n=1•2¹+3•2²+…+3•2ⁿ-（3n-2）•2¹⁺ⁿ，
∴T_n=（3n-5）•2ⁿ⁺¹+10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查程序框圖，數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示方法，數(shù)列的求和，通過(guò)對(duì)知識(shí)的熟練把握，分別進(jìn)行求值，屬于基礎(chǔ)題．