Question

已知函數f（x）=（x²+ax+a）e^x．
（1）若a=1，求函數y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）若a≤2，f（x）的極大值為3，求出a的值．

Answer 1

分析：（1）把a=2代入，對函數求導，求得切線斜率及切點的坐標，從而可求切線方程；
（2）由f（x）=（x²+ax+a）e^x（x∈R），知f′（x）=[x²+（2+a）x+2a]e^x，令f′（x）=0，得x₁=-a，x₂=-2，由a≤2，且f（x）的極大值為3，能求出實數a的值．

解答：解：由題意知：f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+a）e^x=[x²+（a+2）x+2a]e^x
（1）當a=1時，f′（x）=[x²+3x+2]e^x，則：f′（0）=2，f（0）=1
所以函數y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為：y=2x+1；
（2）∵f（x）=（x²+ax+a）e^x（x∈R），
∴f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+a）e^x
=[x²+（2+a）x+2a]e^x，
令f′（x）=0，得x₁=-a，x₂=-2，
∵a≤2，∴-a≥-2，列表討論

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴x=-2時，f（x）取極大值f（-2）=（4-2a+a）e^-2=（4-a）e^-2，
∵a≤2，且f（x）的極大值為3，
∴（4-a）e^-2=3，
∴a=4-3e²．

點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查由函數的導數的符號變化研究函數的單調區(qū)間與極值，解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想和等價轉化思想及導數性質的合理運用．