Question

若關于x不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0恒成立，則a的取值范圍是     ．

Answer 1

【答案】分析：把不等式的左邊設為f（x），然后分a-2大于0，a-2等于0，a-2小于0三種情況考慮，當a大于2時顯然不能恒成立；
當a等于2時，顯然成立；當a小于2時，根據二次函數圖象的開口向下，與x軸沒有交點即△＜0即可列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范圍，綜上，得到所有a的范圍即可．
解答：解：設f（x）=（a-2）x²+2（a-2）x-4，當a-2＞0即a＞2時，函數為開口向上的拋物線，顯然不合題意；
當a-2=0即a=2時，不等式變為-4＜0，恒成立；
當a-2＜0即a＜2時，函數為開口向下的拋物線，要使（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0恒成立，
即要△＜0，即4（a-2）²+16（a-2）＜0，化簡得：4（a+2）（a-2）＜0，解得：-2＜a＜2．
綜上，使不等式恒成立的a的取值范圍是（-2，2]．
故答案為：（-2，2]
點評：此題考查了一元二次不等式的解法，考查了分類討論和函數的思想，是一道綜合題．