Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a₄+a₆=18，且a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若cn=

1

anan+1

，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）由a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n可知數列{a_n}為等差數列，結合等差數列的性質可得2a₅=a₄+a₆=18 可求a₅，進而可求公差d，從而可求通項
（II）由（I）可得Cn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．考慮利用裂項求和進行求解

解答：解：（I）由a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n可知數列{a_n}為等差數列，設公差為d（2分）
∵2a₅=a₄+a₆=18∴a₅=9
∴d=

a5-a1

4

=2（4分）
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1（6分）
（II）∵Cn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)（8分）
∴Tn=

1

2

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)（10分）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

（12分）

點評：本題主要考查等差數列的通項公式的應用，公差公式d=

an-am

n-m

的應用，數列求和的裂項法，解答本題的求和時要注意裂項后的系數

1

2

是容易漏掉的，考查學生的運算