Question

函數f（x）=x²+2x-3a，x∈[-2，2]．
（Ⅰ）若a=-1，求f（x）的最值，并說明當f（x）取最值時的x的值；
（Ⅱ）若f（x）+2a≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=-1代入f（x）并配方，求出f （x）的對稱軸為x=-1，再由二次函數的性質求出f （x）在[-2，2]上的最值，以及f（x）取最值時的x的值；
（Ⅱ）將條件轉化為：x²+2x≥a對于x∈[-2，2]恒成立，再設g（x）=x²+2x，配方后求出在[-2，2]上的最小值，再求出a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=-1時，則f（x）=x²+2x+3=（x+1）²+2，
∴f （x）的對稱軸為x=-1，
∴f（x）_min=f（-1）=2，此時x=-1，
f（x）_max=f（2）=11，此時x=2；
（Ⅱ）f（x）+2a≥0對于x∈[-2，2]恒成立，
即x²+2x≥a對于x∈[-2，2]恒成立，
設g（x）=x²+2x，即求g（x）=x²+2x在[-2，2]上的最小值，
∵g（x）=x²+2x=（x+1）²-1，
∴g（x）=x²+2x在[-2，2]上的最小值是-1，
故a≤-1．

點評：本題主要考查二次函數的性質，函數的恒成立問題，求二次函數在閉區間上的最值，屬于中檔題．