Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的對稱中心為M（x₀，y₀），記函數f（x）的導函數為f′（x），f′（x）的導函數為f″（x），則有f″（x₀）=0．若函數f（x）=x³-3x²，則可求得f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+…f(

4024

2013

)+f(

4025

2013

)=（　　）

A．4025

B．-4025

C．8050

D．-8050

Answer 1

分析：由題意對已知函數求兩次導數可得圖象關于點（1，-2）對稱，即f（x）+f（2-x）=-4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2011對-4和一個f（1）=-2，可得答案．

解答：解：由題意f（x）=x³-3x²，則f′（x）=3x²-6x，f″（x）=6x-6，
由f″（x₀）=0得x₀=1，而f（1）=-2，故函數f（x）=x³-3x²關于點（1，-2）對稱，即f（x）+f（2-x）=-4．
所以f(

1

2013

)+f(

4025

2013

)=-4，…f(

2012

2013

)+f(

2014

2013

)=-4，f(

2013

2013

)=f(1)=-2，
所以f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+…f(

4024

2013

)+f(

4025

2013

)=-4×2012+（-2）=-8050，
故選D．

點評：本題主要考查導數的基本運算，利用條件求出函數的對稱中心是解決本題的關鍵．