Question

給出下列命題：
①y=

x2+3

x2+2

的最小值為2；       
②若a＞b，則

1

a

＜

1

b

成立的充要條件是ab＞0；
③若不等式x²+ax-4＜0對任意x∈（-1，1）恒成立，則實數a的取值范圍為（-3，3）．
真命題的序號是

②

．

Answer 1

分析：①變形并利用基本不等式可得：y=

x2+3

x2+2

=

x2+2+1

x2+2

=

x2+2

+

1

x2+2

≥2，但是等號不成立，故y無最小值；
 ②正確：若a＞b，ab＞0，?

a

ab

＞

b

ab

，?

1

a

＜

1

b

；
③由不等式x²+ax-4＜0對任意x∈（-1，1）恒成立了，令f（x）=x²+ax-4，利用二次函數的圖象與性質可得

f(-1)≤0 f(1)≤0

，解出即可判斷出．

解答：解：①y=

x2+3

x2+2

=

x2+2+1

x2+2

=

x2+2

+

1

x2+2

≥2，但是

x2+2

=

1

x2+2

，化為x²=-1，無實數根，故等號不成立，故y無最小值，因此①不正確；
 ②正確：充分性：若a＞b，ab＞0，則

a

ab

＞

b

ab

，即

1

a

＜

1

b

；
必要性：若a＞b，則

1

a

＜

1

b

成立，可得

a-b

ab

＞0，∵a-b＞0，∴ab＞0．
因此，若a＞b，則

1

a

＜

1

b

成立的充要條件是ab＞0；正確．
③∵不等式x²+ax-4＜0對任意x∈（-1，1）恒成立了，令f（x）=x²+ax-4，則

f(-1)≤0 f(1)≤0

，解得-3≤a≤3，因此③不正確．
綜上可知：只有②正確．

點評：熟練掌握基本不等式的性質、充分必要條件、不等式的基本性質、二次函數的圖與性質是解題的關鍵．