Question

已知函數f（x）=lnx-x+1（x＞0）
（1）求f（x）的單調區間和極值；
（2）若a＞1，函數g（x）=x²-3ax+2a²-5，若對?x₀∈（0，1），總?x₁∈（0，1）使得f（x₁）=g（x₀）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對f（x）進行求導，令f′（x）=0，求出極值點，利用導數研究單調區間；
（2）由（1）知f（x）的最大值小于0，如果?x₁∈（0，1）使得f（x₁）=g（x₀）成立，就必須要求，g（x）在（0，1）上恒小于0即可；

解答：解：（1）f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，（x＞0）令f′（x）=0，得x=1，
當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）為增函數；
f（x）在x=1取極大值，也是最大值f_max（x）=f（1）=0，
∴f（x）的單調增區間為（0，1），減區間（1，+∞），
∴f_極小值（x）=f（1）=0，無極大值；
（2）由（1）知f（x）在（0，+∞）f（x）＜0，
要使?x₁∈（0，1）使得f（x₁）=g（x₀）成立，
得g（x）在（0，1）上恒小于0，a＞1，∵

3

2

a＞1，
∴g（x）在（0，1）上是減函數，
∴g（0）＜0，a＞1，
∴2a²-5＜0，
∴1＜a＜

10

2

；

點評：此題考查利用導數求函數單調區間，第二問涉及函數的恒成立問題，考查知識點比較全面，是一道中檔題；