Question

已知函數f（x）=ax²-lnx．
（I）討論函數f（x）單調性；
（Ⅱ）當時，證明：曲線y=f（x）與其在點P（t，f（t））處的切線至少有兩個不同的公共點．

Answer 1

（Ⅰ）解：f（x）的定義域為（0，+∞），
由f（x）=ax²-lnx，得：f′（x）=2ax-．
（1）若a≤0，則f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）是減函數；
（2）若a＞0，由，得：．
則當x∈（0，）時，f′（x）＜0，f（x）在（0，）是減函數；
當x∈（，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在（，+∞）是增函數．
（Ⅱ）證明：曲線y=f（x）在P（t，f（t））處的切線方程為y=f′（t）（x-t）+f（t），
且P為它們的一個公共點．
當a=時，，，
設g（x）=f（x）-[f′（t）（x-t）+f（t）]，則g′（x）=f′（x）-f′（t），
則有g（t）=0，且g′（t）=0．
設h（x）=g′（x）=-x--f′（t），則當x∈（0，2）時，h′（x）=-+＞0，
于是g′（x）在（0，2）是增函數，且g′（t）=0，
所以，當x∈（0，t）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，t）是減函數；
當x∈（t，2）時，g′（x）＞0，g（x）在（t，2）是增函數．
故當x∈（0，t）或x∈（t，2]時，g（x）＞g（t）=0．
若x∈（2，+∞），則g（x）=-x²-lnx-[f′（t）（x-t）+f（t）]
=-x²+（t+）x-t²-1-ln＜-x²+（t+）x-t²-1=-x（x-2t-）-t²-1．
當x＞2t+時，g（x）＜-t²-1＜0．
所以在區間（2，2t+）至少存在一個實數x₀＞2，使g（x₀）=0．
因此曲線y=f（x）與其在點P（t，f（t））處的切線至少有兩個不同的公共點．
分析：（Ⅰ）對原函數求導，然后分a＞0和a≤0兩種情況討論導函數的符號，a≤0時，f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
a＞0時，求導函數的零點，利用導函數的零點把定義域分段，根據導函數在各段內的符號判斷原函數在不同區間段內的單調性；
（Ⅱ）利用導數求出曲線y=f（x）在點P（t，f（t））處的切線方程，然后構造函數g（x）=f（x）-[f′（t）（x-t）+f（t）]，因為點P（t，f（t））是曲線y=f（x）與切線的公共點，只要再說明函數g（x）有除了t外的另外零點即可，通過對函數g（x）進行求導，利用函數單調性得到當x∈（0，t）或x∈（t，2]時，g（x）＞g（t）=0，利用放縮法，借助與不等式說明當x＞2t+時，g（x）＜0，從而說明曲線y=f（x）與其在點P（t，f（t））處的切線至少有兩個不同的公共點．
點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數研究曲線上某點的切線方程，考查了函數圖象的交點問題，對于本題（Ⅱ）的證明，涉及到構造函數，特別是證明當x＞2時g（x）＜0，用到了不等式證明中的放縮法，是難度較大題目．