Question

已知圓C：x²+y²-4x+2y+1=0，直線l：y=kx-1．
（1）當k為何值時直線l過圓心；
（2）是否存在直線l與圓C交于A，B兩點，且△ABC的面積為2？如果存在，求出直線l的方程，如果不存在，請說明理由；
（3）設(shè)P（x，y）為圓C上一動點，求

y+3

x+1

的最值．

Answer 1

分析：（1）求出圓的圓心坐標，代入直線方程，即可求出k的值，此時直線l過圓心；
（2）△ABC的面積為2，必須AC⊥BC，求出圓心到直線的距離為：

2

，然后求出k的值即可求出直線方程；
（3）設(shè)P（x，y）為圓C上一動點，求

y+3

x+1

的最值，就是圓上的點與（-1，-3）連線的斜率的范圍，如圖，求解即可．

解答：解：（1）圓C：x²+y²-4x+2y+1=0，圓心坐標為：（2，-1），半徑為2，所以-1=2k-1，所以k=0時直線l過圓心；
（2）存在直線l與圓C交于A，B兩點，且△ABC的面積為2，此時

1

2

AC•BC•sin∠ACB=2，所以AC⊥BC，則圓心到直線的距離為：

2

，

2

=

|2k+1-1|

1+k2

解得k=±1，直線l的方程為：y=±x-1．
（3）如圖P（x，y）為圓C上一動點，求

y+3

x+1

的最值，就是圓上的點與（-1，-3）連線的斜率的范圍，
顯然設(shè)

y+3

x+1

=k，所以

|3k-2|

1+k2

=2，解得k=0，k=

12

5

；最小值為：0；最大值為：

12

5

．

點評：本題是中檔題，考查直線與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離的應(yīng)用，考查計算能力，數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化思想．