Question

關于函數f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R）有下列命題，
①y=f（x）圖象關于直線x=-

π

6

對稱 
②y=f（x）的表達式可改寫為y=4cos（2x-

π

6

）
③y=f（x）的圖象關于點（-

π

6

，0）對稱 
 ④由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數倍．
其中正確命題的序號是

②③

．

Answer 1

分析：①由f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），知y=f（x）圖象的對稱軸方程滿足2x+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，由此能求出y=f（x）圖象的對稱軸；
②由f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），利用誘導公式能推導出y=f（x）=4cos（

π

6

-2x）=4cos（2x-

π

6

）；
③由f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R）的對稱點是（

kπ

2

-

π

6

，0），能求出y=f（x）的圖象關于點（-

π

6

，0）對稱；
④由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是

π

2

π的整數倍．

解答：解：∵f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），
∴y=f（x）圖象的對稱軸方程滿足2x+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，
即y=f（x）圖象關于直線x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z對稱，故①不正確；
∵f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），
∴y=f（x）=4cos[

π

2

-（2x+

π

3

）]=4cos（

π

6

-2x）=4cos（2x-

π

6

），故②正確；
∵f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R）的對稱點是（

kπ

2

-

π

6

，0），
∴y=f（x）的圖象關于點（-

π

6

，0）對稱，故③正確；
由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是

π

2

π的整數倍，故④不正確．
故答案為：②③．

點評：本題考查命題的真假判斷，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意三角函數性質的合理運用．