Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是CD的中點，以AE為折痕將△DAE向上折起，使D為D^′，且平面D^′AE⊥平面ABCE

（Ⅰ）求證：AD^′⊥EB；
（Ⅱ）求二面角D^′-AC-B的大小；
（Ⅲ）求點C到面D^′BE的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證AD^′⊥EB，只需證明EB⊥平面AD′E，只需證明AE⊥EB，MD′⊥BE即可；
（Ⅱ）過M作MN⊥AC于N，連接D′N，則∠MND′為二面角D^′-AC-B的大小，通過解三角形即可求二面角D^′-AC-B的大小；
（Ⅲ）利用V_D′-BCE=V_C-BED′，體積相等直接求點C到面D^′BE的距離．

解答：解：如圖所示：
（Ⅰ）證明：因為AE=EB=

2

，AB=2，所以AB²=AE²+BE²，即AE⊥EB，
取AE的中點M，連接MD′，則AD=D′E⇒MD′⊥AE，
又平面D′AE⊥平面ABCE，可得MD′⊥平面ABCE，即得MD′⊥BE，
從而EB⊥平面AD′E，故AD′⊥EB            …（4分）
（Ⅱ）過M作MN⊥AC于N，連接D′N，則∠MND′為二面角D^′-AC-B的大小，
MN=

1

2

EQ=

1

4

×

2

5

=

5

10

；DM=

2

2

，
二面角D^′-AC-B的大小為tan∠MND′=

2 2

5 10

=

10

，
所以∠MND′=arctan

10

； …（8分）
（Ⅲ）因為V_D′-BCE=V_C-BED′，
即

1

3

×SBED′×h=

1

3

×SBCE×DM，
h=

1 2 ×1×1× 2 2

1 2 ×1× 2

=

1

2

，
點C到面BED′的距離是0.5．…（12分）

點評：本題是中檔題，考查直線與直線的垂直的證明，二面角的求法，點到平面的距離的求法，考查空間想象能力，轉化思想，計算能力．