Question

已知數列{a_n}滿足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求證：數列{a_n-1}是等比數列；
（Ⅲ）令b_n=（2-n）（a_n-1）（n=1，2，3…），如果對任意n∈N^*，都有bn+

1

4

t≤t2，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用條件a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，n=1，2，3可求；
（Ⅱ）再寫一式a₁+a₂+a₃++a_n+a_n+1=n+1-a_n+1與已知條件相減可得2a_n+1-a_n=1，即2a_n+1=a_n+1，從而有an+1-1=

1

2

(an-1)，所以可證數列{a_n-1}是等比數列；
（Ⅲ）由（II）可得an=1-(

1

2

)n，進而可得數列{b_n}的通項．考查其單調性，從而求得最大值，故可求實數t的取值范圍．

解答：解：（I）a1=

1

2

，a2=

3

4

，a3=

7

8

..（3分）
（II）由題可知：a₁+a₂+a₃++a_n-1+a_n=n-a_n①a₁+a₂+a₃++a_n+a_n+1=n+1-a_n+1②
②-①可得2a_n+1-a_n=1..（5分）
即：an+1-1=

1

2

(an-1)，又a1-1=-

1

2

..（7分）
所以數列{a_n-1}是以-

1

2

為首項，以

1

2

為公比的等比數列（8分）
（Ⅲ）由（II）可得an=1-(

1

2

)n，（9分）
bn=

n-2

2n

（10分）
由bn+1-bn=

n+1-2

2n+1

-

n-2

2n

=

n-1-2(n-2)

2n+1

=

3-n

2n+1

＞0可得n＜3
由b_n+1-b_n＜0可得n＞3（11分）
所以b₁＜b₂＜b₃=b₄＞b₅＞＞b_n＞
故{b_n}有最大值b3=b4=

1

8

所以，對任意n∈N^*，有bn≤

1

8

（12分）
如果對任意n∈N^*，都有bn+

1

4

t≤t2，即bn≤t2-

1

4

t成立，
則(bn)max≤t2-

1

4

t，故有：

1

8

≤t2-

1

4

t，（13分）
解得t≥

1

2

或t≤-

1

4

所以，實數t的取值范圍是(-∞，-

1

4

]∪[

1

2

，+∞)（14分）

點評：本題主要考查遞推關系式的運用，考查利用構造法證明數列是等比數列，在（Ⅲ）中，要通過研究數列{b_n}的通項，考查其單調性，從而利用最值法解決恒成立問題，這也是一種常用方法．