Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD底面是直角梯形，BA⊥AB，CD⊥DA，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E、F分別為PC，PD的中點，PA=AD=AB．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）證明：平面BEF⊥平面PDC；
（3）求BC與平面PDC所成的角．

Answer 1

分析：（1）利用直線與平面平行的判定定理直接證明：EF∥平面PAB；
（2）通過證明BE⊥平面PDC，BE?平面BEF，然后證明平面BEF⊥平面PDC；
（3）找出BC與平面PDC所成的角，利用直角三角形求解直線與平面所成角的大小．

解答：證明：（1）如圖：因為E，F分別是∴EF∥CD，
又∵CD∥AB，∴EF∥AB，
EF?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB；
（2）連結AF，∵EF

∥

.

1

2

DC，AB

∥

.

1

2

DC，∴EF

∥

.

AB，所以四邊形ABSF為平行四邊形，
∴BS∥AF，∵PA=AD，F為PD的中點，∴AF⊥PD，∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AF，∴AF⊥平面PDC，
∴BE⊥平面PDC，∵BE?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面PDC；
（3）由（2）可知BE⊥平面PDC，
∴∠BCE是BC與平面PDC所成的角．
設AB=1，∵PA=AD=AB，
∴BE=AF=

2

2

，BC=

2

在Rt△BEC中，sin∠BCE=

BE

BC

=

2 2

2

=

1

2

，
∴∠BCE=30°，
BC與平面PDC所成的角為30°．

點評：本題考查直線與平面的平行，平面與平面垂直的判斷，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．