Question

設p：實數x滿足x²－4ax＋3a²＜0（其中a≠0），q：實數x滿足
(1)若a＝1，且p∧q為真，求實數x的取值范圍；
(2)若p是q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

(1) (2,3) (2) (1,2]

試題分析：(1)當a＝1時，解得1＜x＜3，即p為真時實數x的取值范圍是1＜x＜3. 2分
由，得2＜x≤3，即q為真時實數x的取值范圍是2＜x≤3. 4分
若p∧q為真，則p真且q真，5分
所以實數x的取值范圍是(2,3)．7分
(2)p是q的必要不充分條件，即q⇒p，且p/⇒q，8分
設A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則AB，又B＝(2,3]，
由x²－4ax＋3a²＜0得(x－3a)(x－a)＜0，9分
當a＞0時，A＝(a,3a)，有，解得1＜a≤2；11分
當a＜0時，A＝(3a，a)，顯然A∩B＝∅，不合題意．13分
所以實數a的取值范圍是(1,2]．15分
點評：復合命題p∧q的真假由命題p，q共同決定，當兩命題中有一個是真命題時復合后為真命題，
由若p是q的必要不充分條件可得集合p是集合q的真子集