Question

已知點A（-1，-1）．若曲線G上存在兩點B，C，使△ABC為正三角形，則稱G為Γ型曲線．給定下列三條曲線：
①y=-x+3（0≤x≤3）；  
②y=

2-x2

 (-

2

≤x≤0)；  
③y=-

1

x

  (x＞0)．
其中，Γ型曲線的個數(shù)是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：①點在線外，所以可以判斷．②把給定的曲線方程變形，得到曲線曲線形狀，知點A不在曲線上，通過分析進行判斷．
③利用數(shù)形結(jié)合的思想判斷．

解答：解：①因為點A不在直線y=-x+3上，直線與坐標軸的交點坐標為M（0，3），N（3，0），此時|MN|=3

2

，|AM|=

17

，|AN|=

17

．因為|AM|＜|MN|，所以存在兩點B，C，使△ABC為正三角形，所以①是Γ型曲線．
②y=

2-x2

得x2+y2=2，圖形是第三象限內(nèi)的四分之一圓弧，曲線線與坐標軸的交點坐標為M（0，

2

），N（-

2

，0），此時弧長MN=

2 π

2

，最長的弦長為MN=2，|AM|=

4+2 2

，|AN|=

4-2 2

，如圖可知三角形AMN不可能是正三角形，所以②不是Γ型曲線．
③利用數(shù)形結(jié)合思想，以A為圓心，做一個頂角是60°，由圖象可知當圓與曲線相交時，則存在B、C，使使△ABC為正三角形，所以③為Γ型曲線．
故選C．

點評：本題是新定義問題，解題的關(guān)鍵是讀懂題目的意思，并且能夠把形的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方法或幾何方法去解決，本題的綜合性較強，運算量較大．