Question

已知函數(shù)f（x）=log₂x，設(shè)是首項(xiàng)和公差都等于1的等差數(shù)列．?dāng)?shù)列{b_n}滿足．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列{b_n}不是等比數(shù)列；
（2）令，S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求證：S_n＜3．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意求出，從而求得，假設(shè)數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，則有 ．經(jīng)過計(jì)算可得
，與假設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，從而證得要證的結(jié)論成立．
（2）由條件求得，用錯(cuò)位相減法求出它的值．
解答：解：（1）由題意可得 f（a_n）=n=log₂a_n，∴，故數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
假設(shè)數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，，則有 ．
由因?yàn)?，∴，與假設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立．
∴數(shù)列{b_n}不是等比數(shù)列．（6分）
（2）∵，S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
∴，…①
∴，…②，
①-②得  
=
=，
∴＜3．（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查等比關(guān)系的確定，用錯(cuò)位相減法進(jìn)行數(shù)列求和，用反證法證明數(shù)學(xué)命題，屬于中檔題．