Question

設f（x）=x3-

1

2

x2-2x+5
（1）求函數f（x）的單調遞增，遞減區間；
（2）當x∈[-1，2]時，f（x）＜m恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出函數f（x）的導數，令導函數大于0，求出增區間，令導函數小于零，求出減區間；
（2）恒成立問題可轉化成f（x）_max＜m即可可．函數在[-1，2]上的最大值，利用極值與端點的函數值可以確定．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-x-2，令f′（x）=0，解得x=1或-

2

3

，
令f′（x）＞0，解得x∈（-∞，-

2

3

），（1，+∞），
令f′（x）＜0，解得x∈（-

2

3

，1），
f（x）的單調遞增為（-∞，-

2

3

），（1，+∞），遞減區間為（-

2

3

，1）．
（2））∵f（-1）=5

1

2

，f（-

2

3

）=5

22

27

，f（1）=3

1

2

，f（2）=7；
即f（x）_max=7，
要使x∈[-1，2]時，f（x）＜m恒成立，即f（x）_max＜m，
∴m＞7，
故實數m的取值范圍為（7，+∞）．

點評：本題以函數為載體，考查函數的單調性，同時考查了恒成立問題的處理，注意利用好導數工具，導數經常用來研究函數的單調性和最值．屬于中檔題．