Question

已知向量，且，
（1）求f（x）的單調區間；
（2）當時，函數的最大值為3，最小值為0，試求a、b的值．

Answer 1

解：（1）由題意可得=sinxcosx+cos²x-f（x）=0，∴f（x）=sin2x+=sin（2x+）+1，
令 2kπ-≤（2x+）≤2kπ+，k∈z，解得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，
故函數的增區間為[kπ-，kπ+]，k∈z．
同理求得函數的減區間為[kπ+，kπ+]，k∈z．
（2）由于，當時，，
①若a＞0，則g_max（x）=a+b，．
由得a=2，b=1…（10分）
②若a＜0，則，g_min（x）=a+b，
由得a=-2，b=2．…（12分）
綜上得，a=2，b=1，或a=-2，b=2．
分析：（1）根據兩個向量的數量積公式，兩個向量垂直的性質 以及三角函數的恒等變換求得f（x）=sin（2x+）+1，令 2kπ-≤（2x+）≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，
可得函數的增區間，同理求得函數的減區間．
（2）由于，當時，，分a＞0和a＜0兩種情況，分別根據函數的最值求出a、b的值，從而得出結論．
點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式的應用，兩個向量垂直的性質，三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的定義域、值域、單調性，屬于中檔題．