Question

已知a＞0，b＞0，且a+b=1. 求證: (a+)(b+)≥.

Answer 1

證明略

解析:

證法一:(分析綜合法）

欲證原式，即證4(ab)²+4(a²+b²)－25ab+4≥0，

即證4(ab)²－33(ab)+8≥0，即證ab≤或ab≥8.

∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立

∵1=a+b≥2，∴ab≤，從而得證.

證法二： (均值代換法)

設(shè)a=+t₁，b=+t₂.

∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t₁+t₂=0，|t₁|＜，|t₂|＜

顯然當(dāng)且僅當(dāng)t=0，即a=b=時(shí)，等號(hào)成立.

證法三:(比較法）

∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤

證法四：(綜合法)

∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤.

   

證法五： (三角代換法）

∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin²α，b=cos²α，α∈(0，)