Question

如果一個數列的各項都是實數，且從第二項開始，每一項與它前一項的平方差是相同的常數，則稱該數列為等方差數列，這個常數叫這個數列的公方差.

(1)設數列{a_n}是公方差為p的等方差數列，求a_n和a_n-1(n≥2,n∈N)的關系式；

(2)若數列{a_n}既是等方差數列，又是等差數列，證明該數列為常數列；

(3)設數列{a_n}是首項為2，公方差為2的等方差數列，若將a₁,a₂,a₃,…,a₁₀這種順序的排列作為某種密碼，求這種密碼的個數.

Answer 1

(1)解：由等方差數列的定義可知a_n²-a_n-1²=p(n≥2,n∈N).             

(2)證法一：∵{a_n}是等差數列，設公差為d，則a_n-a_n-1=a_n+1-a_n=d.

又{a_n}是等方差數列，∴a_n²-a_n-1²=a_n+1²-a_n².                                  

∴(a_n+a_n-1)(a_n-a_n-1)=(a_n+1+a_n)(a_n+1-a_n),即d(a_n+a_n-1-a_n+1-a_n)=-2d²=0.                

∴d=0，即{a_n}是常數列.                                                  

證法二：∵{a_n}是等差數列，設公差為d，則a_n-a_n-1=d.                       ①

又{a_n}是等方差數列，設公方差為p，則a_n²-a_n-1²=p,                         ②

將①代入②,得d²+2da_n-p=0.                                              ③

同理,有d²+2da_n-1-p=0.                                                   ④

兩式相減得2d(a_n-a_n-1)=2d²=0.                                               

∴d=0，即{a_n}是常數列.                                                  

證法三：(接證法二①、②)

由①、②得出：若d=0，則{a_n}是常數列.                                     

若d≠0，則a_n=+是常數,矛盾.                                         

∴{a_n}是常數列.                                                           

(3)解:依題意，a_n²-a_n-1²=2(n≥2,n∈N)，

a₁²=4,a_n²=4+2(n-1)=2n+2，∴a_n=或a_n=-,                      

即該密碼的第一個數確定的方法數是1，其余每個數都有“正”或“負”兩種確定方法，當每個數確定下來時，密碼就確定了，即確定密碼的方法數是2⁹=512種.故這種密碼共512種.