Question

飛船返回艙順利到達地球后,為了及時將航天員救出,地面指揮中心在返回艙預計到達區域安排三個救援中心(記為A,B,C),B在A的正東方向,相距6 km,C在B的北偏東30°,相距4 km,P為航天員著陸點,某一時刻A接到P的求救信號,由于B、C兩地比A距P遠,因此4 s后,B、C兩個救援中心才同時接收到這一信號,已知該信號的傳播速度為1 km/s.

(1)求A、C兩個救援中心的距離;

(2)求在A處發現P的方向角.

Answer 1

解:(1)以AB中點為坐標原點,AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系,則A(-3,0),B(3,0),C(5,23),則|AC|=km=2 km,則A、C兩個救援中心的距離為2 km.

(2)∵|PC|=|PB|,∴P在BC線段的垂直平分線上.

又∵|PB|-|PA|=4,∴P在以A、B為焦點的雙曲線的左支上且|AB|=6.

∴雙曲線方程為-=1(x＜0),BC的垂直平分線的方程為x+3y-7=0,聯立兩方程解得x=-8,

∴P(-8,5),k_PA=tan∠PAB=-.

∴∠PAB=120°.∴P點在A點的北偏西30°處.

點評:實際問題有明顯的幾何意義,可以考慮用解析法建立適當的坐標系,構造曲線方程,利用曲線的性質來求解.