Question

已知集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}，集合B={x|

x-2a

x-(a2+1)

＜0}．
（1）當a=2時，求A∩B；
（2）當a＞

1

3

時，若元素x∈A是x∈B的必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a=2代入分別可解不等式化簡A，B，可求交集；
（2）當a＞

1

3

時，可解得B={x|2a＜x＜a²+1}，A={x|2＜x＜3a+1}，元素x∈A是x∈B的必要條件，即B是A的真子集，由2a≥2 且 a²+1≤3a+1，可解得答案．

解答：解：（1）當a=2時，可得集合A={x|（x-2）（x-7）＜0}={x|2＜x＜7}，
集合 B={x|

x-4

x-5

＜0}={x|4＜x＜5}，
∴A∩B={x|4＜x＜5}
（2）∵a²+1-2a=（a-1）²≥0，∴a²+1≥2a
∴B={x|2a＜x＜a²+1}
當a＞

1

3

時，3a+1＞2∴A={x|2＜x＜3a+1}
∵元素x∈A是x∈B的必要條件，即B是A的真子集
∴2a≥2 且 a²+1≤3a+1
∴1≤a≤3，經驗證當a=1，3時，均符合要求．
故實數a的取值范圍為：1≤a≤3．

點評：本題為充要條件的問題，涉及不等式的解集和集合的運算，屬基礎題．