Question

將一個長寬分別是a，b（0＜b＜a）的鐵皮的四角切去相同的正方形，然后折成一個無蓋的長方體的盒子，若這個長方體的外接球的體積存在最小值，則

a

b

的取值范圍是

（1，

5

4

）

．

Answer 1

分析：設出減去的正方形邊長為x，表示出外接球的直徑，對直徑的平方的表示式求導，使得導函數(shù)等于0，得到最小值，根據(jù)自變量的范圍求出結論．

解答：解：設減去的正方形邊長為x，
其外接球直徑的平方R²=（a-2x）²+（b-2x）²+x²
求導得（R²）'=18x-4（a+b）=0
∴x=

2

9

（a+b）
因為b＜a，∴x∈（0，

b

2

），
所以0＜

2

9

（a+b）＜

b

2

，
∴1＜

a

b

＜

5

4

．
故答案為：（1，

5

4

）．

點評：本題考查函數(shù)的模型的選擇與應用，本題解題的關鍵是寫出直徑的平方的表示式，并且對解析式求導做出直徑的最小值．