Question

如圖橢圓C的方程為，A是橢圓C的短軸左頂點(diǎn)，過A點(diǎn)作斜率為﹣1的直線交橢圓于B點(diǎn)，點(diǎn)P（1，0），且BP∥y軸，△APB的面積為．

（1）求橢圓C的方程；

（2）在直線AB上求一點(diǎn)M，使得以橢圓C的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過M的雙曲線E的實(shí)軸最長，并求此雙曲線E的方程．

Answer 1

解答： 解：（1），又∠PAB=45°，AP=PB，故AP=BP=3．

∵P（1，0），A（﹣2，0），B（1，﹣3）

∴b=2，將B（1，﹣3）代入橢圓得：得a²=12，

所求橢圓方程為．

（2）設(shè)橢圓C的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，

則易知F₁（0，﹣）F₂（0，），

直線AB的方程為：x+y+2=0，因?yàn)镸在雙曲線E上，要雙曲線E的實(shí)軸最大，只須||MF₁|﹣|MF₂||最大，設(shè)F₁（0，﹣）關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為F₁'（﹣2，﹣2），則直線F₂F₁′與直線的交點(diǎn)為所求M，

因?yàn)镕₂F₁′的方程為：，聯(lián)立得M（1，﹣3）

又2a′=||MF₁|﹣|MF₂||=||MF₁'|﹣|MF₂||≤|F₂F₁'|

==2，故，

故所求雙曲線方程為：