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圓C的方程為(x-2)2+y2=4,圓M的方程為(x-2-5sinθ)2+(y-5cosθ)2=1(θ∈R),過圓C上任意一點P作圓M的兩條切線PE、PF,切點分別為E、F,則
PE
PF
的最小值是(  )
A、6
B、
56
9
C、7
D、
65
9
分析:由兩圓的圓心距|CM|=5大于兩圓的半徑之和可得兩圓相離,如圖所示,則
PE
PF
的最小值是
HE
HF

利用 兩個向量的數量積的定義求出
HE
HF
的值,即為所求.
解答:解:(x-2)2+y2=4的圓心C(2,0),半徑等于2,圓M  (x-2-5sinθ)2+(y-5cosθ)2=1,
圓心M(2+5sinθ,5cosθ),半徑等于1.∵|CM|=
(5sinθ)2+(5cosθ)2
=5>2+1,故兩圓相離.
PE
PF
=|
PE
|•
|PF|
•cos∠EPF,要使 
PE
PF
 最小,需|
PE
| 和 
|PF|
 最小,且∠EPF 最大,
如圖所示,設直線CM 和圓C 交于H、G兩點,則
PE
PF
的最小值是
HE
HF

|H M|=|CM|-2=5-2=3,|H E|=
|HM|2-|ME|2
=
9-1
=2
2
,sin∠MHE=
|ME|
|MH|
=
1
3

∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin2∠MHE=
7
9

HE
HF
=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2
2
×2
2
×
7
9
=
56
9
,故選 B.
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點評:本題考查兩圓的位置關系,兩圓的切線,兩個向量的數量積的定義,二倍角的余弦公式,體現了數形結合
的數學思想,判斷
PE
PF
的最小值是
HE
HF
,是解題的關鍵,屬于中檔題.
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PE
PF
的最小值為
 

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