Question

已知向量

a

，

b

，

c

滿足|

a

|=|

b

|=

a

•

b

=2，(

a

-

c

)•(

b

-2

c

)=0，則|

b

-

c

|的最小值為

7 - 3

2

．

Answer 1

分析：由已知可求＜

a

，

b

＞=

π

3

，不妨設(shè)

OA

=

a

=（2，0），

c

=(x，y)，

OB

=

b

=（1，

3

），結(jié)合(

a

-

c

)•(

b

-2

c

)=0，可得x，y的方程：2-5x+2x²-

3

y+2y2=0是以（

5

4

，

3

4

）為圓心，以

3

2

為半徑的圓，結(jié)合圓的性質(zhì)可求

解答：解：|

a

|=|

b

|=

a

•

b

=2，
∴cos＜

a

，

b

＞=

2

2×2

=

1

2

∴＜

a

，

b

＞=

π

3

由題意不妨設(shè)

OA

=

a

=（2，0），

c

=(x，y)
則

OB

=

b

=（1，

3

），
∵(

a

-

c

)•(

b

-2

c

)=0，
∴（2-x，-y）•（1-2x，

3

-2y）=0
∴（2-x）（1-2x）-y（

3

-2y）=0
即2-5x+2x²-

3

y+2y2=0是以（

5

4

，

3

4

）為圓心，以

3

2

為半徑的圓
則|

b

-

c

|=

(1-x)2+( 3 -y)2

的最小值為

( 5 4 -1)2+( 3 - 3 4 )2

-

3

2

=

7 - 3

2

故答案為：

7 - 3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角，其中根據(jù)已知表示出|

b

-

c

|，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，是解答本題的關(guān)鍵