Question

如圖（圖1）等腰梯形PBCD，A為PD上一點，且AB⊥PD，AB=BC，AD=2BC，沿著AB折疊使得二面角P-AB-D為60°的二面角，連接PC、PD，在AD上取一點E使得3AE=ED，連接PE得到如圖（圖2）的一個幾何體．
（1）求證：平面PAB⊥平面PCD；
（2）求PE與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）證明AP⊥PD，AB⊥PD，可得PD⊥平面PAB，從而可得平面PAB⊥平面PCD；
（2）連接AC，利用V_P-ABC=V_A-PBC，求出E到平面PBC的距離為h，進而利用sinθ=

h

PE

，即可求PE與平面PBC所成角的正弦值．

解答：（1）證明：∵AB⊥PA，AB⊥AD，又二面角P-AB-D為60°
∴∠PAD=60°，
又AD=2PA，∴AP⊥PD
又AB⊥平面APD，又PD?平面APD，∴AB⊥PD，
∵AP，AB?平面ABP，且AP∩AB=A
∴PD⊥平面PAB，
又PD?平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD---------（7分）
（2）解：設E到平面PBC的距離為h，
∵AE∥平面PBC，∴A到平面PBC的距離亦為h
連接AC，

則V_P-ABC=V_A-PBC，設PA=2
∴

1

3

×

1

2

×2×2×

3

=

1

3

×

1

2

×2×

7

×h
∴h=

2 21

7

，
 設PE與平面PBC所成角為θ，
∴sinθ=

h

PE

=

2 3 7

3

=

2 7

7

---------------（14分）

點評：本題考查面面垂直，考查線面角，解題的關鍵是掌握面面垂直的判定方法，利用求點面距離，求PE與平面PBC所成角．