Question

14、在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA=2AB=2．
（Ⅰ）若F為PC的中點，求證PC⊥平面AEF；
（Ⅱ）求證CE∥平面PAB．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證PC⊥平面AEF，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證PC與平面AEF內兩相交直線垂直，而AF⊥PC，EF⊥PC，AF∩EF=F，滿足定理的條件；
（Ⅱ）欲證EC∥平面PAB，取AD中點M，連EM，CM，可先證明平面EMC∥平面PAB，而EC?平面EMC，從而得到EC∥平面PAB．

解答：解：（Ⅰ）∵PA=CA，F為PC的中點，
∴AF⊥PC．（7分）
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E為PD中點，F為PC中點，
∴EF∥CD．則EF⊥PC．（9分）
∵AF∩EF=F，∴PC⊥平面AEF．（10分）

（Ⅱ）取AD中點M，連EM，CM．則EM∥PA．
∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，
∴EM∥平面PAB．（12分）
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，
∴∠ACM=60°．而∠BAC=60°，∴MC∥AB．
∵MC?平面PAB，AB?平面PAB，
∴MC∥平面PAB．（14分）
∵EM∩MC=M，
∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC?平面EMC，
∴EC∥平面PAB．（15分）

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．