Question

（本小題滿分13分）已知函數，．

   （Ⅰ） 求函數在點(1，)處的切線方程；   （Ⅱ） 若函數與在區間上均為增函數,求的取值范圍；   （Ⅲ） 若方程有唯一解,試求實數的值．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）因為,所以切線的斜率…………………2分

又,故所求切線方程為,即…………………4分

（Ⅱ）因為,又x>0,所以當x>2時,；當0<x<2時, ．

即在上遞增,在（0,2）上遞減…5分又,所以在上遞增,在上遞減……………6分欲與在區間上均為增函數,則,解得…………8分

（Ⅲ） 原方程等價于,令,則原方程即為．  因為當時原方程有唯一解,所以函數與的圖象在y軸右側有唯一的交點…10分又, 且x>0,所以當x>4時,；

當0<x<4時, ．即在上遞增,在（0,4）上遞減．故h（x）在x=4處取得最小值…12分從而當時原方程有唯一解的充要條件是…13分