Question

已知f（x）=sin²ωx+

3

sinωxcosωx-

1

2

(x∈R，ω＞0)，若f(x)的最小正周期為π．
（1）求f（x）的表達式和f（x）的單調遞增區間；
（2）將函數y=f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標先縮短到原來的

1

2

，把所得到的圖象再向左平移

π

6

單位，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g(x)在區間[-

π

8

，

π

6

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等變換公式化簡，得f（x）=sin（2ωx-

π

6

），利用周期公式算出ω=1，得f（x）的表達式為f（x）=sin（2x-

π

6

），再根據正弦函數單調區間的公式加以計算，即可得到f（x）的單調遞增區間；
（2）根據三角函數圖象平移、伸縮的公式，結合誘導公式算出g（x）=cos4x，再根據余弦函數的圖象與性質即可求出g（x）在區間[-

π

8

，

π

6

]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）根據題意，可得
f（x）=sin²ωx+

3

sinωxcosωx-

1

2

=

1

2

（1-cos2ωx）+

3

2

sin2ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

），
∵函數f（x）的最小正周期π，∴

2π

2ω

=π，解之得ω=1
由此可得f（x）的表達式為f（x）=sin（2x-

π

6

），
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），解得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

（k∈Z），
∴f（x）的單調遞增區間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）．
（2）將函數y=sin（2x-

π

6

）的圖象，縱坐標保持不變，橫坐標先縮短到原來的

1

2

，
可得函數y=sin（4x-

π

6

）的圖象；再將所得圖象向左平移

π

6

單位，得函數y=sin[4（x+

π

6

）-

π

6

]的圖象，
∴g（x）=sin[4（x+

π

6

）-

π

6

]=sin（4x+

π

2

）=cos4x，
當x∈[-

π

8

，

π

6

]時，-

π

2

≤4x≤

2π

3

，
∴cos

2π

3

≤cos4x≤cos0，即-

1

2

≤cos4x≤1，
可得函數g（x）在區間[-

π

8

，

π

6

]的最小值為g（

π

6

）=-

1

2

；最大值為g（0）=1．

點評：本題著重考查了三角恒等變換公式、誘導公式和周期公式，考查了三角函數圖象變換和余弦函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．