Question

已知函數(shù)的反函數(shù)為，設(shè)的圖象上在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為，數(shù)列{}滿足： 

（Ⅰ）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）在數(shù)列中，僅最小，求的取值范圍；

（Ⅲ）令函數(shù)數(shù)列滿足,求證：對一切n≥2的正整數(shù)都有 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）的取值范圍為；（Ⅲ）詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將函數(shù)的反函數(shù)求出來，可得，

再由 得 

是以2為首項(xiàng)，l為公差的等差數(shù)列，由此可得數(shù)列{}的通項(xiàng)公式

（Ⅱ）求出函數(shù)的反函數(shù)在點(diǎn)處的切線的截距即得

將，的通項(xiàng)公式代入得：

這是一個(gè)二次函數(shù)，但n只取正整數(shù)，畫出圖象可以看出當(dāng)對稱軸介于與之間的時(shí)候，就僅有最小，，解這個(gè)不等式即可得的取值范圍

（Ⅲ）由題設(shè)可得：結(jié)合待證不等式可看出，可將這個(gè)等式兩邊取倒數(shù)，這樣可得： ，從而

 

又遞推公式可知，各項(xiàng)為正，所以

試題解析：（Ⅰ）

∴函數(shù)的反函數(shù) 

則得 

是以2為首項(xiàng)，l為公差的等差數(shù)列，故             （3分）

（Ⅱ） 在點(diǎn)處的切線方程為

令， 得

            （6分）

依題意，僅當(dāng)時(shí)取得最小值，

，解之

∴的取值范圍為                   （8分）

（Ⅲ）故 

又故，

 

又

故                              （14分）

考點(diǎn)：1、數(shù)列與不等式；2、函數(shù)的反函數(shù)；3、利用導(dǎo)數(shù)求切線