Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD⊥PA，DB平分∠ADC，E為PC的中點，∠DAC=45°，AC=

2

．
（Ⅰ）證明：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）若PD=2，BD=2

2

，求四棱錐E-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設AC∩BD=F，證明CD⊥平面PAD，可得CD⊥AD．再由∠DAC=45°，DA=DC，可得△ADC為等腰直角三角形．根據DB平分∠ADC，可得F為AC中點，EF為△CPA的中位線，可得故有EF∥PA，再根據直線和平面平行的判定定理證得 PA∥平面BDE．
（Ⅱ）底面四邊形ABCD的面積記為S，由于AC=

2

，可得AD=DC=1，求得 S=S_△ADC+S_△ABC=

1

2

•AC•BD 的值，再根據點E為線段PC的中點，可得 VE-ABC=

1

2

•VP-ABCD=

1

2

×

1

3

•PD•SABCD，運算求得結果．

解答：解：（Ⅰ）設AC∩BD=F，連接EF，∵PD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PD⊥CD．
又∵CD⊥PA，PD∩PA=P，PD，PA?平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∵AD?平面PAD，∴CD⊥AD．…（2分）
∵∠DAC=45°，∴DA=DC，∴△ADC為等腰直角三角形．…（3分）
∵DB平分∠ADC，故F為AC中點，EF為△CPA的中位線．…（4分）
故有EF∥PA，而EF?平面BDE，PA不在平面BDE內，∴PA∥平面BDE．…（6分）
（Ⅱ）底面四邊形ABCD的面積記為S，由于AC=

2

，∴AD=DC=1，
則 S=S_△ADC+S_△ABC=

1

2

•AC•BD=

1

2

×

2

×2

2

=2．  …（9分）
∵點E為線段PC的中點，∴VE-ABC=

1

2

•VP-ABCD=

1

2

×

1

3

•PD•SABCD=

1

2

×

1

3

×2×2=

2

3

．  …（12分）

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應用，求棱錐的體積，屬于中檔題．