Question

已知函數f（x）=log₂（x+1），當點（x，y）是y=f（x）的圖象上的點時，點(

x

3

，

y

2

)是y=g（x）的圖象上的點．
（I）寫出y=g（x）的表達式；
（II）當g（x）-f（x）≥0時，求x的取值范圍；
（Ⅲ）當x在（Ⅱ）所給范圍取值時，求g（x）-f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（I）令

x

3

=m，

y

2

=n，由題設條件知n=

1

2

log2(3m+1)，再由（m，n）是函數y=g（x）的圖象上的點，可知g(x)=

1

2

log2(3x+1)(x＞-

1

3

)．
（II）由題意知

1

2

log2(3x+1)≥log2(x+1)．由對數函數的性質可得

3x+1＞0 x+1＞0 3x+1≥(x+1)2

，解得0≤x≤1．
（Ⅲ）由題意知g(x)-f(x)=

1

2

log2

3x+1

(x+1)2

=

1

2

log2

9

(3x+1)+ 4 3x+1 +4

≤

1

2

log2

9

8

．由此可知g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值為

1

2

log2

9

8

．

解答：解：（I）令

x

3

=m，

y

2

=n，則x=3m，y=2n，由點（x，y）在y=log₂（x+1）的圖象上可得2n=log₂（3m+1），故n=

1

2

log2(3m+1)，
又（m，n）是函數y=g（x）的圖象上的點，故g(x)=

1

2

log2(3x+1)(x＞-

1

3

)．
（II）因為g（x）-f（x）≥0，所以

1

2

log2(3x+1)≥log2(x+1)．
由對數函數的性質可得

3x+1＞0 x+1＞0 3x+1≥(x+1)2

，解得0≤x≤1．
（Ⅲ）因為0≤x≤1，
所以g(x)-f(x)=

1

2

log2

3x+1

(x+1)2

=

1

2

log2

9

(3x+1)+ 4 3x+1 +4

≤

1

2

log2

9

8

．
當且僅當3x+1=2時，即x=

1

3

時等號成立，
故g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值為

1

2

log2

9

8

．

點評：本題考查函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．