Question

（2012•棗莊一模）如圖，△ABC中，點D是邊BC的中點，E是邊AC（靠近點C）的三等分點，則

AP

用向量

AB

，

AC

表示為

AP

=

2

5

（

AB

+

AC

）

．

Answer 1

分析：過點E作EF∥AD，交BC于F，在△ADC中利用線段成比例，可得AD=3EF，DF=

2

3

CD=

2

3

BD．然后在△BEF中利用線段成比例，可得PD=

3

5

EF=

1

5

AD，所以

AP

=

4

5

AD

，結合D是邊BC的中點，有

AD

=

1

2

（

AB

+

AC

），即可得到本題的答案．

解答：解：過點E作EF∥AD，交BC于F
∵△ADC中，

EF

AD

=

CE

AC

=

CF

CD

=

1

3

，∴AD=3EF，DF=

2

3

CD=

2

3

BD
又∵△BEF中，PD∥EF
∴

PD

EF

=

BD

BF

=

3

5

，可得PD=

3

5

EF=

1

5

AD，
由此可得

AP

=

4

5

AD

∵D是邊BC的中點，

AD

=

1

2

（

AB

+

AC

）
∴

AP

=

4

5

×

1

2

（

AB

+

AC

）=

2

5

（

AB

+

AC

）
故答案為：

AP

=

2

5

（

AB

+

AC

）

點評：本題給出出三角形的中線和一邊的三等分點，求向量

AP

的線性表示式，著重考查了平面向量基本定理和平行線分線段成比例定理等知識，屬于中檔題．