Question

已知函數f（x）=alnx+x² （a為實常數）．
（1）當a=-4時，求函數f（x）的單調區間；
（2）當x∈[1，e]時，討論方程f（x）=0根的個數；
（3）若 a＞0，且對任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有|f（x₁）-f（x₂）≤100|

1

x1

-

1

x2

|，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=-4時，利用導數的運算法則可得f′(x)=

2x2-4

x

(x＞0)，在區間（0，+∞）上分別解出f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得出單調區間；
（2）當x=1時，方程f（x）=0無解．
當x≠1時，方程f（x）=0（x∈[1，e]）等價于方程 -a=

x2

lnx

（x∈（1，e]）．
設g（x）=

x2

lnx

，則g′(x)=

2xlnx-x2• 1 x

ln2x

=

x(2lnx-1)

ln2x

．分別解出g′（x）＞0與g′（x）＜0即可得出單調性，
又g（e）=e²，g(

e

)=2e，作出y=g（x）與直線y=-a的圖象，由圖象可知a的范圍與方程根的關系；
（3）若a＞0時，f（x）在區間[1，e]上是增函數，函數y=

1

x

在區間[1，e]上是減函數．
不妨設1≤x₁≤x₂≤e，則|f(x1)-f(x2)|≤100|

1

x1

-

1

x2

|等價于f(x2)-f(x1)≤

100

x1

-

100

x2

．
即f(x2)+

100

x2

≤f(x1)+

100

x1

，即函數h(x)=f(x)+

100

x

在x∈[1，e]時是減函數．
可得h′(x)=

a

x

+2x-

100

x2

≤0，即a≤

100

x

-2x2在x∈[1，e]時恒成立．再利用y=

100

x

-2x2在x∈[1，e]時是減函數，即可得出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=-4時，f′(x)=

2x2-4

x

(x＞0)，
當x∈(0，

2

)時，f'（x）＜0；當x∈(

2

，+∞)時，f'（x）＞0．
∴f（x）的單調遞減區間為(0，

2

)，單調遞增區間為(

2

，+∞)．
（2）當x=1時，方程f（x）=0無解．
當x≠1時，方程f（x）=0（x∈[1，e]）等價于方程 -a=

x2

lnx

（x∈（1，e]）．
設g（x）=

x2

lnx

，則g′(x)=

2xlnx-x2• 1 x

ln2x

=

x(2lnx-1)

ln2x

．
當x∈(1，

e

)時，g'（x）＜0，函數g（x）遞減，
當x∈(

e

，e]時，g'（x）＞0，函數g（x）遞增．
又g（e）=e²，g(

e

)=2e，作出y=g（x）與直線y=-a的圖象，由圖象知：
當2e＜-a≤e²時，即-e²≤a＜-2e時，方程f（x）=0有2個相異的根；
當a＜-e²或a=-2e時，方程f（x）=0有1個根；                
當a＞-2e時，方程f（x）=0有0個根．
（3）若a＞0時，f（x）在區間[1，e]上是增函數，函數y=

1

x

在區間[1，e]上是減函數．
不妨設1≤x₁≤x₂≤e，
則|f(x1)-f(x2)|≤100|

1

x1

-

1

x2

|等價于f(x2)-f(x1)≤

100

x1

-

100

x2

．
即f(x2)+

100

x2

≤f(x1)+

100

x1

，
即函數h(x)=f(x)+

100

x

在x∈[1，e]時是減函數．
∴h′(x)=

a

x

+2x-

100

x2

≤0，即a≤

100

x

-2x2在x∈[1，e]時恒成立．
∵y=

100

x

-2x2在x∈[1，e]時是減函數，∴a≤

100

e

-2e2．
所以，實數a的取值范圍是(0，

100

e

-2e2]．

點評：本題綜合考查了利用導數研究函數的單調性、等價轉化、適當變形等基礎知識與基本技能，考查了數形結合思想方法、推理能力和計算能力．