Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三視圖如圖所示，其中主視圖AA₁B₁B和左視圖B₁BCC₁均為矩形，在俯視圖△A₁B₁C₁中，A₁C₁=3，A₁B₁=5，．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求證：BC⊥AC₁；
（2）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若D是底邊AB的中點，求證：AC₁∥平面CDB₁．
（3）若三棱柱的高為5，求三視圖中左視圖的面積．

Answer 1

解：（1）因為主視圖和左視圖均為矩形、所以該三棱柱為直三棱柱，
在俯視圖△A₁B₁C₁中，A₁C₁=3，A₁B₁=5，，
由余弦定理可得B₁C₁=4，
∴∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°，
∴BC⊥AC
又∵BC⊥CC₁，CC₁∩A₁C₁=C₁，∴BC⊥平面ACC₁A₁．
∵AC₁?平面ACC₁A₁，∴BC⊥AC₁．
（2）連BC₁交B₁C于M，則M為BC₁的中點，連DM，則DM∥AC₁．
∵DM?平面DCB₁，AC₁?平面DCB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（3）左視圖中BC的長等于底面△ABC中頂點C到邊AB的距離d，，
∴左視圖的面積．
分析：（1）根據主視圖和左視圖均為矩形得到該三棱柱為直三棱柱，在俯視圖△A₁B₁C₁中，利用余弦定理求出B₁C₁，從而得到BC⊥AC，而BC⊥CC₁，CC₁∩A₁C₁=C₁，根據線面垂直的判定定理可知BC⊥平面ACC₁A₁，而AC₁?平面ACC₁A₁，根據線面垂直的性質可知BC⊥AC₁．
（2）欲證AC₁∥平面CDB₁，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證AC₁與平面CDB₁內一直線平行即可，連BC₁交B₁C于M，則M為BC₁的中點，連DM，根據中位線可知DM∥AC₁，而DM?平面DCB₁，AC₁?平面DCB₁，滿足定理所需條件．
（3）左視圖中BC的長等于底面△ABC中頂點C到邊AB的距離d，求出a，最后根據矩形的面積公式求出所求即可．
點評：考查線面平行、線面垂直的判定定理以及面積的求法．涉及到的知識點比較多，知識性技巧性都很強．