Question

如圖，ABCD是邊長為2a的正方形，ABEF是矩形，且二面角C－AB－F是直二面角，AF＝a，G是EF的中點，

(1)求證：平面AGC⊥平面BGC；

(2)求GB與平面AGC所成角的正弦值;

(3)求二面角B－AC－G的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(常規幾何法) 　　(1)證明：正方形ABCD， 　　∵二面角CABF是直二面角，CB⊥AB，∴CB⊥面ABEF， 　　∵AG，GB面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG，……1分 　　又AD＝2a，AF＝a，ABEF是矩形，G是EF的中點， 　　∴AG＝BG＝，AB＝2a，AB2＝AG2＋BG2， 　　∴AG⊥BG，……2分 　　∵CB∩BG＝B,∴AG⊥平面BGC．而AG面AGC， 　　故平面AGC⊥平面BGC．……4分 　　(2)解：如圖，由(1)知面AGC⊥面BGC，且交于GC，在平面BGC內作BH⊥GC，垂足為H，則BH⊥平面AGC， 　　∴∠BGH是GB與平面AGC所成的角，……6分 　　∴在Rt△BGC中， 　　，又BG＝， 　　∴．……8分 　　或 　　(3)由(2)知，BH⊥面AGC，作BO⊥AC，垂足為O，連結HO，則HO⊥AC， 　　∴為二面角B－AC－G的平面角．……10分 　　在， 　　在Rt△BOH中， ∴二面角B－AC－G的大小為．……12分 　　解法二：(向量法) 　　如圖，以A為原點建立空間直角坐標系， 　　則A(0，0，0)，B(0，2a，0)，C(0，2a，2a)，G(a，a，0)，F(a，0，0)． 　　(1)證明：，， 　　，……3分 　　∴， 　　, 　　∴AG⊥BG，AG⊥BC，而BG與BC是平面BGC內兩相交直線， 　　∴AG⊥平面BGC，又AG平面AGC， 　　故平面AGC⊥平面BGC，…………5分 　　(2)，，，， 　　設平面AGC的法向量為，GB與平面AGC成的角為， 　　由，…………………8分 　　．……………………9分 　　(3)因是平面AGC的法向量， 　　又AF⊥平面ABCD，平面ABCD的法向量，得 　　， 　　∴　二面角B－AC－G的大小為．……12分