Question

（1）已知M=

3 -2 2 -2

，a=[₄^-1]，試計算：M¹⁰α．
（2）已知圓C的參數方程為

x= 3 +2cosθ y=2sinθ

（θ為參數），若P是圓C與y軸正半軸的交點，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求過點P的圓C的切線的極坐標方程．

Answer 1

分析：（1）先根據特征多項式建立方程求出特征值，然后分別求出特征值所對應的一個特征向量，將向量

a

用兩特征向量線性表示，最后利用矩陣與向量乘的意義進行求解；
（2）先將圓的參數方程化簡成圓的標準方程，再利用圓心到直線的距離等于半徑求出切線方程，再將由

y=ρsinθ x=ρcosθ

代入直線方程即可求得直線的極坐標方程．

解答：解：（1）矩陣M的特征多項式為：
f（λ）=λ²-λ-2=0，λ₁=-1，λ₂=2
λ₁=-1對應的一個特征向量為：

α1

=

1 2

，
λ₂=2對應的一個特征向量為：

α2

=

2 1

（4分）
設a=m

a1

+n

a2

，即

.

-1   4

.

=m

.

1   2

.

+n

.

2   1

.

，
∴

m+2n=-1 2m+n=4

解得

m=3 n=-2

（5分）
M10α=3(λ1)10

α1

+(-2)(λ2)10

α2

=3(-1)10

.

1   2

.

+（-2）10

.

2   1

.

=

.

-4093   -2042

.

或

3-212 6-211

（2）圓C的參數方程為

x= 3 +2cosθ y=2sinθ

（θ為參數），?(x-

3

)2+y2=4（2分）
可得點P（0，1），圓C在點P（0，1）的切線為y=

3

x+1，（5分）
由

y=ρsinθ x=ρcosθ

得所求的切線的極坐標方程：ρsinθ-

3

ρcosθ=1．（7分）

點評：本題主要考查了特征值的應用，以及圓的參數方程和直線的極坐標方程等基礎知識，屬于基礎題．