Question

已知等比數列{a_n}滿足2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂與a₄的等差中項；
（1）求數列{a_n}的通項公式；    
（2）若b_n=a_n-log₂a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使不等式S_n-2ⁿ⁺¹+47＜0成立的n的最小值．

Answer 1

分析：（1）設等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q，根據2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項，建立方程組，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）確定數列的通項，并求和，由S_n-2ⁿ⁺¹+47＜0，建立不等式，即可求得結論．

解答：解：（1）設等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q，
∵2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項
∴a₁（2+q²）=3a₁q（1），a₁（q+q³）=2a₁q²+4（2）
由（1）及a₁≠0，得q²-3q+2=0，∴q=1，或q=2，
當q=1時，（2）式不成立；當q=2時，符合題意，
把q=2代入（2）得a₁=2，所以，a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）b_n=a_n-log₂a_n=2ⁿ-n．
所以S_n=b₁+b₂+…b_n=（2+2²++2ⁿ）-（1+2+…+n）=2ⁿ⁺¹-2-

1

2

n-

1

2

n² 
因為S_n-2ⁿ⁺¹+47＜0，所以2ⁿ⁺¹-2-

1

2

n-

1

2

n²-2ⁿ⁺¹+47＜0，
即n²+n-90＞0，解得n＞9或n＜-10．
故使S_n-2ⁿ⁺¹+47＜0成立的正整數n的最小值為10．

點評：本題考查等比數列的通項，考查數列的通項與求和，考查解不等式，解題的關鍵是確定數列的通項與和，屬于中檔題．