Question

a和b是兩條異面直線，下列結論正確的個數是（　　）
（1）過不在a、b上的任一點，可作一個平面與a、b都平行．
（2）過不在a、b上的任一點，可作一條直線與a、b都相交．
（3）過a可以并且只可以作一個平面與b平行．
（4）過不在a、b上的任一點，可作一條直線與a、b都垂直．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：利用空間中直線與直線之間的位置關系、直線與平面之間的位置關系對逐選項一一判斷即可．

解答：解：（1）依題意，將a平移到與b相交，此時的a用a′表示，a′與b相交，確定平面α，則a∥α，在a′上選一點P（點P∉b），此時α不與b平行，故（1）錯誤；
（2）設點P為不在a、b上的任一點，則過點P，a可構成一個平面α，若b與平面平行，則過點P找不到這樣的直線與a、b都相交，故（2）錯誤；
（3）過a可以并且只可以作一個平面與b平行，正確；
下面用反證法證明：
在a上任意取一點C，過此點做直線CD∥b；①
由于a，CD為兩相交直線，故可唯一確定一平面α．顯然，b∥α．
若另有一平面β，過a且平行于b，可過b和點C做平面γ，λ與β相交于過C點的直線CE．則CE∥b；②
由①②知CD，CE為同一直線，即β與α為同一平面，故（3正確；
（4）過不在a、b上的任一點，可作一條直線與a、b都垂直，正確．
故選：B．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查空間中直線與直線之間的位置關系、直線與平面之間的位置關系，考查反證法與推理證明，屬于中檔題．